[1]
確率母関数の1階および2階微分はそれぞれ \[ \frac{d}{dt}G_{X}(t) = \sum_{k} kt^{k-1}P(X=k) \] \[ \frac{d^{2}}{dt^{2}}G_{X}(t) = \sum_{k} k(k-1)t^{k-2}P(X=k) \] である。 ここで\(t=1\)を代入して \[ \frac{d}{dt}G_{X}(1) = \sum_{k} kP(X=k) = E[X] \] \[ \frac{d^{2}}{dt^{2}}G_{X}(1) = \sum_{k} k(k-1)P(X=k) = E[X(X-1)] \] したがって期待値、分散を求める式はそれぞれ \[ E[X] = \frac{d}{dt}G_{X}(1) \] \begin{eqnarray*} V[X] &=& E[X(X-1)] + E[X] - (E[X])^2 \\ &=& \frac{d^{2}}{dt^{2}}G_{X}(1) + \frac{d}{dt}G_{X}(1) - \left(\frac{d}{dt}G_{X}(1)\right)^{2} \end{eqnarray*} となる。

[2]
\(X\)~\(B(n,p)\)のとき、\(P(X=k)=\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^{k}(1-p)^{n-k}\)より、確率母関数は \begin{eqnarray*} G_{X}(t) &=& \sum_{k=0}^{n}t^{k}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ \\ &=& \sum_{k=0}^{n}\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) (tp)^{k}(1-p)^{n-k} \\ \\ &=& (tp+1-p)^n \end{eqnarray*} となる。最後の行では二項定理を用いた。また、この結果から \[ \frac{d}{dt}G_{X}(1) = np(tp+1-p)^{n-1}|_{t=1} = np \] \begin{eqnarray*} \frac{d^{2}}{dt^{2}}G_{X}(1) &=& n(n-1)p^{2}(tp+1-p)^{n-2}|_{t=1} \\ &=& n(n-1)p^{2} \end{eqnarray*} と求められるので、\(B(n,p)\)の期待値と分散は[1]の式を用いて \[ E[X] = np \] \[ V[X] = n(n-1)p^{2} + np - (np)^{2} = np(1-p) \]

[3]
確率母関数の定義式から、正の実数\(r\)について、 \begin{eqnarray*} G_{X}(t) &=& \sum_{k} t^{k}P(X=k) \\ &=& \sum_{k\leq r} t^{k}P(X=k) + \sum_{k> r} t^{k}P(X=k) \\ &\geq& \sum_{k\leq r} t^{k}P(X=k) \end{eqnarray*} となる。ここで\(k\leq r\)ならば\(t^{k-r}\geq 1\)が成り立つので \begin{eqnarray*} t^{-r}G_{X}(t) &\geq& t^{-r}\sum_{k\leq r} t^{k}P(X=k) \\ &=& \sum_{k\leq r} t^{k-r}P(X=k) \\ &\geq& \sum_{k\leq r} P(X=k) \\ &=& P(X\leq r) \end{eqnarray*} よって示された。

[4]
[2]、[3]の結果から\(X\)~\(B(n,p)\)と実数\(a\)について \[ P(X\leq an) \leq t^{-an}(tp+1-p)^n \] ここで、不等式の右辺において最小値を与える\(t\)を求める。右辺の値の自然対数をとった関数\(f(t)=n\{\log(tp+1-p)-a\log t\}\)を\(t \)で微分してその値を0とおくと \begin{eqnarray*} && \frac{d}{dt}f(t) = n\left(\frac{p}{tp+1-p} - \frac{a}{t}\right) = 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& t = \frac{(1-p)a}{p(1-a)} \end{eqnarray*} この\(t\)を不等式の右辺の式に代入して \begin{eqnarray*} && \left\{\frac{(1-p)a}{p(1-a)}\right\}^{-an}\left\{\left\{\frac{(1-p)a}{p(1-a)}\right\}p+1-p\right\}^n \\ \\ &=& \left(\frac{a}{p}\right)^{-an}\left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{-an}\left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{n} \\ \\ &=& \left(\frac{p}{a}\right)^{an}\left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{(1-a)n} \end{eqnarray*} よって \[ P(X\leq an) \leq \left(\frac{p}{a}\right)^{an}\left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{(1-a)n} \]