\[ \max f(x_{1},x_{2})=-(x_{1}^2+x_{2}^2) \\ s.t. x_{1}-1≧0 , x_{2}-1=0 \] これは領域を考えると解は明らかに求まります。
\((x_{1},x_{2})=(1,1)\)の時、\(f\)は最大値\(-2\)をとります。
以上が双対問題を使わない解き方です。
次に、双対問題を使った解き方を紹介します。
まず双対問題の導出します。 \[ L(x_{1},x_{2},\lambda,\mu)=-(x_{1})^2-(x_{2})^2+\lambda(x_{1}-1)+\mu(x_{2}-1) \\ =-\left(x_{1}-\frac{\lambda}{2}\right)^{2}-\left(x_{2}-\frac{\mu}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\lambda}{2}\right)^2-\lambda+\left(\frac{\mu}{2}\right)^2-\mu (*) \] つまり、 \[ \displaystyle d(\lambda,\mu)=\max_{(x_{1},x_{2})} L(x_{1},x_{2},\lambda,\mu) \\ =\left(\frac{\lambda}{2}\right)^2-\lambda+\left(\frac{\mu}{2}\right)^2-\mu \] となります。　(\(-\left(x_{1}-\frac{\lambda}{2}\right)^2-\left(x_{2}-\frac{\mu}{2}\right)^2)\)は\(０\)以下だから)
従って、双対問題は以下になります。 \[ \displaystyle \min d(\lambda,\mu)=\max_{(x_{1},x_{2})} L(x_{1},x_{2},\lambda,\mu)~~ s.t. \lambda≧0 \] これを\(\lambda,\mu\)に関して平方完成すると、 \[ d(\lambda,\mu)=\frac{1}{4}{(\lambda-2)^{2}+(\mu-2)^{2}}-2 \] 以上から双対問題の最適解は\((\lambda,\mu)=(2,2)\)となり、\(d(2,2)=-2\)
また、(*)から \[ x_{1}=\frac{\lambda}{2}, x_{2}=\frac{\mu}{2}　 \] だったので、 \[ (x_{1},x_{2})=(1,1) \] の時が最適解となる。
このように、主問題と双対問題の最適解と最適値は一致することがわかりました。

\((x^*,λ^*,μ^*)\in \mathbb{R}^n×\mathbb{R}^l×\mathbb{R}^m\)が鞍点

任意の\(x\in \mathbb{R}^n\)および\((\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^l×\mathbb{R}^m\)に対し、　(\(\lambda\)の各成分が0以上) \[ L(x,\lambda^*,\mu^*)≦L(x^*,\lambda^*,\mu^*)≦L(x^*,\lambda,\mu) \] を満たす

(1)\((x^*,\lambda^*,\mu^*)\)が鞍点である時、以下の性質が成り立つ
　(a)\(x^*\)は主問題の最適解
　(b)\((\lambda^*,\mu^*)\)は双対問題の最適解
　(c)\(f(x^*)=d(\lambda^*,\mu^*)=L(x^*,\lambda^*,\mu^*)\)
(2)•\(f\)が上に凸,\(g_{i}\)が上に凸
　　 かつ
　 •\(g_{i}(x)>0 (i=1,\cdots,l)\)かつ\(h_{j}(x)=0 (j=1,\cdots,m)\)を満たす\(x\in\mathbb{R}^{n}\)
が存在する
　　かつ
　•主問題に最適解\(\hat{x}\)が存在する\(\Rightarrow (\hat{\lambda},\hat{\mu})\in\mathbb{R}^l×\mathbb{R}^m\)が存在して、\((\hat{x},\hat{\lambda},\hat{\mu})\)が鞍点となる。
証明は(1)についてのみ書きたいと思います。
\(F=\{x\in\mathbb{R}^{n} | g_{i}(x)≧0 , h_{j}(x)=0 (i=1,\cdots,l) (j=1,\cdots,m)\}\)とする。
(a)\(x^{*}\)は主問題の最適解
　 鞍点の条件から任意の\((\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^l×\mathbb{R}^m\)に対し、 \[ L(x^*,\lambda,\mu)=f(x^*)+\sum_{i=1}^{l} \lambda_{i}g_{i}(x^*)+\sum_{i=1}^{m}\mu_{j}h_{j}(x^*)≧L(x,\lambda^*,\mu^*) \] 　もし \(g_{i}(x^*)<0\)または\(h_{j}(x)≠0\)ならば\(L(x^*,\lambda,\mu)\)は下界を持たないので矛盾。
背理法から\(g_{i}(x)≧0 , h_{j}(x)=0 \)が満たされるので\(x^*\in F\)となる。
さらに、\(\lambda=0,\mu=0\)のときの不等式から\(f(x^*)≧L(x^*,\lambda^*,\mu^*)\cdots➀\)
一方で、 \begin{eqnarray} L(x^*,\lambda^*,\mu^*)&≧&\max_{x} L(x,\lambda^*,\mu^*) (∵鞍点) \\ &≧&\max_{x\in F} L(x,\lambda^*,\mu^*) \\ 　　　　　　　　　 &=&\max_{x\in F} f(x^*)+\sum_{i=1}^{l} \lambda_{i}g_{i}(x^*)+\sum_{i=1}^{m}\mu_{j}h_{j}(x^*) \\ 　　　　　　　　　 &≧&\max_{x\in F} f(x)\cdots➁ \end{eqnarray} ➀,➁より、\(f(x^*)≧L(x^*,\lambda^*,\mu^*)≧\max_{x\in F} f(x) \\ 　x^*\in F\)だから上式の不等号は等号となる。
つまり、\(x^*\)は主問題の最適解かつ\(f(x^*)=L(x^*,\lambda^*,\mu^*)\)
(b)\((\lambda^*,\mu^*)\)は双対問題の最適解 \begin{eqnarray} d(\lambda,\mu)&=&\max_{x\in \mathbb{R}^{n}} L(x,\lambda,\mu) \\ &≧&L(x^*,\lambda,\mu) 　　(∵x^*\in \mathbb{R}^{n}) \\ 　　　　&≧&L(x^*,\lambda^*,\mu^*) 　　 (∵鞍点) \end{eqnarray} また、 \begin{eqnarray} d(\lambda^*,\mu^*)&=&\max_{x\in \mathbb{R}^{n}} L(x,\lambda^*,\mu^*) \\ 　　　　　&≦&L(x^*,\lambda^*,\mu^*) \end{eqnarray} よって、任意の\((\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^{l}×\mathbb{R}^{m}\)に対し、 \[ d(\lambda^*,\mu^*)≦L(x^*,\lambda^*,\mu^*)≦d(\lambda,\mu) \] これより\((\lambda^*,\mu^*)\)は双対問題の最適解かつ\(d(\lambda^*,\mu^*)=L(x^*,\lambda^*,\mu^*)\)
以上で証明部分を終わりにしたいと思います。